Nació en Vinebre, diócesis de Tortosa, provincia de Tarragona, el 16 de octubre de 1840. Su madre soñaba verlo sacerdote del Señor. Su padre le encaminó al comercio. Gravemente enfermo, recibió la primera Comunión por Viático. Durante el cólera de 1854 perdió a su madre, y en este mismo año -trabajaba como aprendiz de comercio en Reus- abandonó todo y se retiró a Montserrat. Vuelto a casa con la promesa de poder emprender el camino elegido, inició en el mismo año 1854 los estudios en el Seminario de Tortosa. Ordenado sacerdote en Tortosa, el 21 de septiembre de 1867, celebró la primera misa, en Montserrat, el domingo 6 de octubre, festividad de Nuestra Señora del Rosario.
Sus clases como profesor de Matemáticas y Física en el Seminario no le impidieron dedicarse con ardor a la catequesis, uno de los grandes amores de su vida. Organizó en 1871 una escuela metódica de catecismo, en doce Iglesias de Tortosa y escribió una "Guía práctica" para los catequistas. Con este libro inicia Enrique su actividad como escritor, apostolado que le convirtió en uno de los sacerdotes más populares de la España de su tiempo. Desde niño tuvo devoción entusiasta por Santa Teresa de Avila. La vida y doctrina de la Santa, asimilada con la lectura constante de sus obras, inspiró su vida espiritual y su apostolado, mantenidos por la fuerza de su amor ardiente a Jesús y María y por una adhesión inquebrantable a la Iglesia y al Papa.
Para acrecentar y fortificar el sentido de piedad, reunió en asociaciones a los fieles, especialmente a los jóvenes, para quienes la revolución y las nuevas corrientes hostiles a la fe católica resultaban una amenaza. Después de haber dado vida en los primeros años de sacerdocio a una "Congregación mariana" de jóvenes labradores del campo tortosino, fundó en 1873 la Asociación de "Hijas de María Inmaculada y Santa Teresa de Jesús". En 1876 inauguraba el "Rebañito del Niño Jesús". Los dos grupos tenían un fin común: promover una intensa vida espiritual, unida al apostolado en el propio ambiente. El Movimiento Teresiano de Apostolado (MTA) recoge en la actualidad el carisma teresiano de nuestro Santo para hacer de los niños, jóvenes y adultos cristianos comprometidos mediante la oración y el apostolado.
Para facilitar la práctica de la oración a los asociados, Enrique publicó en 1874 "El cuarto de hora de oración", libro que el autor mandó imprimir 15 veces y del que hasta la fecha se han publicado más de 50 ediciones. Convencido de la importancia de la prensa, inició en 1871 la publicación del semanario, "El amigo del pueblo" que tuvo vida hasta mayo de 1872, cuando por un motivo fútil de la autoridad civil, contraria a la Iglesia, lo suprimió. Sin embargo, en octubre de este mismo año inicia la publicación de la Revista mensual Santa Teresa de Jesús, que durante 24 años fue la palestra en la que el Santo expuso la verdadera doctrina católica, difundió las enseñanzas de Pío IX y León XIII, enseñó el arte de la oración, propagó el amor a Santa Teresa de Avila e informó de manera actualizada sobre la vida de la Iglesia en España y en el mundo. Para formar a la gente humilde publicó en 1884 un Catecismo sobre la masonería fundado en la doctrina del Papa. Y en 1891 ofreció lo esencial de la Rerum Novarum en un Catecismo de los obreros y de los ricos, prueba concreta de su atención a los signos de los tiempos, según el corazón de la Iglesia.
Su gran obra fue la Congregación de las Hermanas de la Compañía de Santa Teresa de Jesús que se extendió, viviendo aún el Fundador por España, Portugal, México y Uruguay. En la actualidad la Congregación se extiende por tres continentes: Europa, Africa y América. San Enrique quiso que sus hijas, llenas del espíritu de Teresa de Avila, se comprometiesen a "extender el reino de Cristo por todo el mundo", "formando a Cristo en la inteligencia de los niños y jóvenes por medio de la instrucción y en su corazón por medio de la educación".
Había soñado junto con la institución de "Hermanos Josefinos" la de una Congregación de "Misioneros Teresianos"", que viviendo santamente el propio sacerdocio en la mayor intimidad con Cristo y al servicio total de la Iglesia, siguiendo las huellas de Teresa, fuesen los apóstoles de los tiempos nuevos. En vida su proyecto no llegó a realidad. Sin embargo, desde hace pocos años, un grupo de jóvenes mexicanos se preparan al sacerdocio con el mismo espíritu teresiano de Ossó. Sacerdote según el corazón de Dios, el Santo fue un verdadero contemplativo que fundió en sí con equilibrio extraordinario un ideal apostólico abierto a todo lo bueno que ofrecían los nuevos tiempos. De fe viva, no miraba sacrificios ni oposiciones; en una época especialmente hostil a la Iglesia, anunció valerosamente el Evangelio con la palabra, con los escritos, con la vida.
Murió el 27 de enero de 1896 en Gilet (Valencia), en el convento de los Padres Franciscanos, donde se había retirado durante algunos días para orar en la soledad. Las últimas páginas que escribió antes de su muerte trataban de la acción de la gracia del Espíritu Santo en la vida de los cristianos dóciles a su amor. Es el mensaje de su vida: siempre fiel a las mociones del Espíritu Santo, vivió como apóstol que transmite la fuerza del Evangelio animada por la comunión constante con Dios y por un amor inmenso a la Iglesia. Su existencia, consumida al servicio de los hermanos en una entrega sin límites, revela que el verdadero amor de Cristo cuanto más posee a un ser lo hace más disponible a la caridad siempre nueva y siempre colmada de quien intenta ser reflejo de la presencia de Dios y de su amor en el mundo. Fue canonizado por SS Juan pablo II en Madrid, el 16 de junio de 1996. El mismo papa lo declaró patrono de los catequistas españoles el 6 de noviembre de 1998.